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我记得大一的时候，《计算机基础》第一章内容就会讲到计算机编码。期末考试的时候，老师会有这样的考题：求出一个数的补码。我能清楚的记得步骤是：先判断数的正负。正数的补码是其原码本身；而负数的补码是先求反码，然后再让反码加1。
所以，计算机会有3种码：原码、反码和补码。你翻开所有的计算机教科书，几乎都会讲到这块内容，但是却没有一本教程会告诉你：为什么计算机需要这三种码？
如果你是爱思考的，特别是计算机系的学生，在学习的过程中就应该自己会主动思考这个问题。在我自学计算机的过程中，显然这个问题也困扰到了我，当时还不会网络搜索，但是我自己在整理学习笔记的过程中，找到了下面两张已经泛黄的草稿纸：
这个就是当时自己独立思考的过程。今天来看，总体结论是对的，但是阅读起来不是很顺畅和清晰。所以今天我就重新整理一下思路和逻辑，正式对“计算机为什么要用反码和补码？”这个问题做出推论解释。
一、为什么需要反码？
反码的作用就相当于数学中的负数。
对于小学生来说，会做的算术题是：5-3，但是不会做3-5。于是，我们上初中的时候，数学里就引进了一个新的概念：负数。引入负数之后，本来是减法的运算就可以变成加法来实现：
3-5=3+[-5]=[-2]，中括号代表“负数”，“负数”就是我们人为给出的数学术语。
对于计算机来说，会做的算术题是：5+3，但是不会做3-5。于是，我们就在编码里引进了一个新的概念：反码。引入反码之后，本来是减法的运算就可以变成加法来实现：
3-5=3+[-5]=[-2]，中括号代表“反码”，“反码”就是我们人为给出的计算机术语。
这里，你一定有一个疑问：为什么计算机只会做5+3，不会做3-5。这是因为在计算机的数字电路中只有加法器，没有所谓的“减法器”。不是说计算机厂商不会设计减法器，因为聪明的人既然发明了方法能够用加法来实现减法操作，那为什么还需要画蛇添足的弄一个减法器？
接着说：那么反码要怎么定义才能实现减法变加法的功能呢？聪明的人想的办法如下：
1.正数的反码保持原码不变：3=[0_0000011]
2.负数除最高位（正负符号位）外，全部取反(0变1,1变0)：-5=1_0000101取反=[1_1111010]
于是3+[-5]=[-2]的计算过程为：
[0_0000011]+[1_1111010]=[1_11111101]
这样，这种反码方法就成功实现了目标！至于为什么，我想只有数学家能给出解释了。
二、为什么需要补码？
都是因为“0”这个特殊数字的存在。
先问你一个问题:0是正数还是负数？你肯定会说：0既不是正数也不是负数，这是我们初中学到的数学知识。这个回答没有问题，所以以后每次碰到0，人们都不会把它当正数或负数。
那么计算机呢？计算机不同于人脑，计算机在碰到任何数字之前只根据最高位的符号位来判断正负性，“0”表示正数,“1”表示负数。
前面我们推论了为何要用反码，那么用8位二进制反码表示的正数范围： +0 —— +127；负数范围： -127 —— -0。但是，其中有两个特殊的编码会出现：
[0_0000000]=+0 （反码）
[1_1111111]=-0 （反码）
其实，+0和-0代表的都是0。这样一来，“0”这个数字在计算机中的编码就不是唯一的了。对于计算机来说，这是绝对不行的，因为任何数字都只能有1个编码。
于是，聪明的人就做了这样一个决定：把0当成正数，也即+0，这样0的编码就变成：0_0000000。那8位二进制表示的正数范围仍然是： +0 —— +127。
但是，对于负数就必须要做调整，也即-0必须要让位—1_1111111这个编码不能表示-0。我们可以把负数整体向后“挪动1位”：只要将8位二进制表示的负数范围从：-127 —— -0变成：-128 —— -1，就能成功解决问题。
那么怎么整体挪动1位呢？方法就是反码+1。{1_1111111}编码就不再表示-0，而变成了-1。顺着推，最小的编码{1_0000000}就是-128。
我们给这个反码+1又人为的取了一个新的名字，叫补码。于是乎，补码的定义如下：
1.正数的补码保持原码不变：3={0_0000011}
2.负数先求反码，然后再加1：-5=[1_1111010]+1={1_1111011}
于是3+{-5}={-2}的计算过程为：
{0_0000011}+{1_1111011}={11111110}
至此，通过补码就成功解决了数字0在计算机中非唯一编码的问题，且也能实现减法变加法。
所以，在计算机的世界里，0是正数。这点和我们学的数学不一样。
{0_1111111}=+127 （补码）
{0_0000000}=+0 （补码）
{1_1111111}=-1 （补码）
{1_0000000}=-128 （补码）
三、真机演示
说了这么多，计算机内部电路是不是按我们上面的理论来的呢？我们必须要真机演示体会一下:
预设: AX=3,BX=5,CX=-5。DX用于存放运算结果。
- 正数加法：AX+BX
MOV AL,3
MOV BL,5
ADD AL,BL
MOV DL,AL
将汇编程序保存为code.asm，用NASM编译成EXE:
然后用Turbo-Debugger调试器调试：
按F8可以逐步调试：
AX=3
可以看到AX,BX和DX都是原码，也即正数的补码就是原码。
- 正数减法：AX-BX
MOV AL,3
MOV BL,5
SUB AL,BL
MOV DL,AL
可以看到，这次减法之后，结果是0XFE={11111110}={-2}，成功验证之前的推论：
于是3-5={3}+{-5}={-2}的计算过程为：
{0_0000011}补码+{1_1111011}补码={11111110} 补码
我前面说过，减法的运算过程是把减法变加法：3-5={3}+{-5}，所以这里肯定是要先把减数BX的值5转换成-5的补码，但是我们看到程序运行过程中BX的值一直都是05，并没有变成-5的补码，这是怎么回事？因为减法变加法只是CPU的一个运算过程，它并不会去修改参与运算数存储的值，你可以理解为CPU从BX里面把5取出来之后，有专门的电路负责把它变成-5的补码，或者有专门另外隐藏的寄存器用来存放它的补码，然后再参与加法运算。BX的值是我们人为赋予的5，当然不能为了做这样一个减法而随意去修改它。
3. 正负数加法：AX+CX
MOV AL,3
MOV CL,-5
ADD AL,CL
MOV DL,AL
下图表明，计算机看到CX是负数，直接就编码成补码进行存储了：0XFB={11111011}={-5}。那么计算机是怎么把CX=-5存储为补码0XFB的呢？是不是要严格按我们之前介绍的步骤呢：
(a) 正数原码=00001001
(b) 负数原码=10001001
(b) 反码=11110110 (除符号位取反)
(c) 补码:=反码+1=11110111=0XFB
这个问题，在下一小节会有明确答案。
负数CX直接存储为补码
运算之后的结果如下图：结果是0XFE={11111110}={-2}，这个运算过程是：
{3}+{-5}={-2}
4.正负数减法：AX-CX
运算结果：0X08={00001000}={8}，也即:3-(-5)=3+(-(-5))=3+5=8。
那么问题来了，(-(-5))这个计算机怎么操作？你肯定会说“负负得正”，但计算机哪里会懂。由于所有的减法变加法，其实都是一样的规则—取减数相反数相加：
A-B=A+(-B)。
那么我只要设计出一种方法能够计算任何数的相反数就行了，而计算机计算相反数的方法是：
相反数=反码+1 ：-B=~B+1，这里的B可以是任何数，不用区分正负和考虑符号位！
所以，(-(-5))的过程就是计算机需要2次取相反数进行编码：
(a) 第1次对-5进行编码—规则：[5的反码]+1=00000101取反+1=11111011
(b) 第2次对-(-5)进行编码—规则[-5的反码]+1=11111011取反+1=00000101，实际上又回到了5的编码，相当于“负负得正”。
虽然都是反码+1，但是这个和我们前面介绍的求负数的补码方法有差异：那里求负数反码的时候，是符号位除外了的。而这里求相反数是所有位都全部取反。
计算机里面有了相反数的概念，就能统一所有的运算法则：负数就是求正数的相反数，减法就是求减数的相反数再相加。所以，我们可以把上一节中CX=-5的存储过程做进一步的优化：
(a) 5的原码=00001001
(b) 全部取反=11110110
(c) 补码:=反码+1=11110111=0XFB
我觉得这个才是计算机真正的编码过程，因为它在编码的时候不需要考虑和判断所谓的第一位正负号“符号位”，只要看到符号“-”就重复“反码+1”的取相反数过程。
4.负数减法
根据上述过程，那么可以推论最复杂的负数减法过程：如AX=-3,BX=-2,我们要计算这两个负数相减：DX=AX-BX，过程应该是：
（a） AX存入被减数:由于计算机见到有负号"-"，那么需对3做一次取相反数的操作：原码3取反后+1：00000011取反+1=11111101=0XFD。
（b） BX存入减数: 由于计算机见到有负号"-"，那么需对2做一次取相反数的操作：原码2取反后+1：00000010取反+1=11111110=0XFE。
（c） DX=AX-BX：计算机先把减法变加法，AX-BX=AX+(-BX)，由于计算机见到第二个加数有负号"-"，那需对BX做一次取相反数的操作:BX取反+1=11111110取反+1=00000010。
（d） 计算加法:AX+(-BX)=11111101+00000010=11111111=0XFF={-1}
该过程的计算机验证截图如下:
所以，从上面的过程可以清楚的看到计算机最重要的就是：“反码+1”，反码+1就叫补码。有了补码，计算机才能实现负号“-”的操作，而这个操作是其实就是取相反数的含义。
正是有了取相反数的概念，因此在汇编程序中有这样一条指令：NEG。这个指令就是取相反数，也等同于对数做一个求补（反码+1）的操作。
补码这个取相反数的机制，给计算机带来的好处太多了。它除了使计算机不用区分加减法以外，在加、减运算的时候，硬件层面上还可以不用区分正负数（符号位没有特殊处理）。如对于某一个编码：0xF0，当它存储在内存中的时候，如果是无符号数，应等于240；如果是有符号数，应等于-16。那它究竟是代表哪个数呢？计算机在硬件层面并不需要知道它代表的是240还是-16，因为它是正是负都不影响和别的任何数字做加减操作。比如在与数字2的编码值0x02相加之后，编码值是0xF2，那这个编码值就可以代表是242或-14。
那这个0xF0最终究竟代表的是哪个数字呢？这是编程者需要处理的事情，比如你在C语言中应当把它定义成signed与否。下面，我们必须要举例来说明这个过程：
假如你是把等于-16的变量定义成signed char类型的，当我们的程序中需要应用这个变量的时候，比如printf(%d),C语言标准库里的printf函数首先会从内存里取出变量的值:0xF0，由于变量是有符号类型，它首先根据0xF0符号位是1来判断是一个负数，第一步就将生成一个"-“号放在一个临时字符串的首位。剩下的事情就是将0xF0这个编码转化成10进制对应的数字字符串"16”，关键问题是printf怎么来实现这个转换呢？
通过前面的推论，得知：**负数是正数的补码，正数是负数的补码，它们互为相反数。**现在，我们要求正数的编码，当然只需要在负数补码的基础上去一次相反数即可，因此对0xF0取相反数就会是如下过程：
0xF0取相反数=1111_0000取相反数=11110000反码+1=00001111+1=0001_0000=16D
虽然得到了16这个数值，但是它和字符串"16"是两回事，printf最终是要把"-"号和"16"相连接组成这个变量完整的字符串才行。那数字16又怎么转化成字符串"16"呢？
方法是我们要在10进制数据中需要逐位获取：先取出最高位数字1，然后把1转化成字符“1”；再取最低位数字6，把6转化成字符“6”。由于每个数字x与它们对应字符的ASCII码值关系是：ASCII码=48+ x。因此，我们将取得的数字加上1+48=49,6+48=54,那么就得到了两个字符"1"和"6"。printf把字符"1"和"6"依次连接在字符"-“后面，就得到了最终完整的字符串:”-16"。最后printf再调用操作系统字符串显示API，才能完整的在屏幕上显示出"-16"！
通过这个案例，我们可以看出高级语言对计算机底层编码的处理过程，相对来说不简单，因此高级语言会屏蔽掉计算机底层很多的细节。
接着上面这个0xF0，我们再扯远点。甚至于硬件层面都不知道0xF0代表的是一个数字（数据）呢，还是一条机器指令。那也是编程者需要关心和设计的事情：当程序在内存里运行到这个0xF0存储位置的时候，它代表的就应该是一条机器指令；而当程序需要从内存里取出这个0xF0值的时候，它代表的就应该是一个数字（数据）。
继续扯回来。虽然计算机硬件层面上加、减运算的时候，可以不用区分正数、负数，但是在乘除法的时候就不行了。比如现在有一个被除数编码:0x01E0,一个除数编码：0xF0。0x01E0代表的是数480。0xF0可能代表240，也可能代表-16。计算结果480/240=2或480/-16=-30。2的编码是0x02,而-30的编码是0xE2，显然这两个编码不能统一（因为符号位参与了计算过程），因此你在做乘除法之前，就必须在硬件层面指定0xF0代表的是正数240还是负数-16。正因为如此，汇编程序在做乘除法的时候，必须要指定是无符号乘除还是有符号乘除，无符号除法用指令:DIV，有符号除法用指令:IDIV。
四、总结
最终，计算机数字的3种编码—原码、反码和补码，我们用一句话来总结如下：
原码：是对自然正数(包括0)的二进制编码，正数在计算机中直接用原码进行存储。
**反码：**可以理解为是求补码的中间过程，反码=原码逐位取反。计算机并不存储反码。
补码：计算机求相反数的编码，补码=反码+1。负数在计算机中使用补码进行存储。
但是，归根到底，我们可以说计算机是用补码进行存储的。为什么？因为原码=对应相反数的补码，实际上也是补码，只不过是负数的补码。
